1. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали равны между собой и являются биссектрисами углов четырехугольника, то он является квадратом. 2. Из вершины прямоугольника на его диагональ опущен перпендикуляр, основание которого делит её в отношении 1 : 3. Точка пересечения диагоналей находится от большей стороны прямоугольника на расстоянии 12 см. Найдите диагональ прямоугольника.

1. Докажем, что такой четырехугольник — квадрат.

Пусть $ABCD$ — данный четырехугольник, причем его диагонали $AC$ и $BD$ равны, и каждая диагональ является биссектрисой углов, в вершинах которых она проведена. То есть:

• диагональ $AC$ делит пополам углы $A$ и $C$;

• диагональ $BD$ делит пополам углы $B$ и $D$.

Нужно доказать, что $ABCD$ — квадрат.

Шаг 1. Докажем, что $AB=AD$ и $CB=CD$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$.

Так как $AC$ — биссектриса угла $A$, то

Так как $AC$ — биссектриса угла $C$, то

Значит, треугольники $ABC$ и $ADC$ подобны по двум углам.

Но сторона $AC$ у них общая, то есть коэффициент подобия равен 1. Следовательно, эти треугольники равны.

Отсюда получаем:

Шаг 2. Докажем, что $AB=BC$ и $AD=CD$

Теперь рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$.

Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, то

Так как $BD$ — биссектриса угла $D$, то

Следовательно, треугольники $ABD$ и $CBD$ подобны по двум углам.

Сторона $BD$ у них общая, значит, коэффициент подобия снова равен 1, и треугольники равны.

Поэтому:

Шаг 3. Все стороны четырехугольника равны

Из первого и второго шага получаем:

Следовательно,

Значит, $ABCD$ — ромб.

Шаг 4. Используем равенство диагоналей

По условию

Мы уже установили, что четырехугольник — ромб. Но ромб с равными диагоналями является прямоугольником, а ромб, который одновременно является прямоугольником, — это квадрат.

Следовательно, $ABCD$ — квадрат.

Ответ:

Если в четырехугольнике диагонали равны и каждая из них является биссектрисой соответствующих углов, то этот четырехугольник является квадратом.

2. Найдите диагональ прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, причем $a>b$.

По условию:

• из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр;

• основание этого перпендикуляра делит диагональ в отношении $1:3$;

• точка пересечения диагоналей находится от большей стороны на расстоянии $12$ см.

Найти нужно диагональ прямоугольника.

Шаг 1. Найдём меньшую сторону прямоугольника

Точка пересечения диагоналей прямоугольника — это его центр.

Расстояние от центра прямоугольника до большей стороны равно половине меньшей стороны.
Действительно, если большая сторона равна $a$, то расстояние от центра до этой стороны равно

По условию это расстояние равно $12$ см, значит:

Отсюда

Шаг 2. Используем свойство проекции прямого угла на гипотенузу

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами прямоугольника и его диагональю.
Пусть в этом треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза — диагональ $d$.

Если из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу, то он делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные квадратам катетов:

По условию диагональ делится в отношении $1:3$. Так как $a>b$, то

Следовательно,

Так как $b=24$, то

Шаг 3. Найдём диагональ

По теореме Пифагора:

Подставим: