ABCD — параллелограмм, M и N — середины сторон BC и AD. Докажите, что четырёхугольник AMCN — параллелограмм.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию:

• $M$ — середина стороны $BC$,

• $N$ — середина стороны $AD$.

Нужно доказать, что четырёхугольник $AMCN$ — параллелограмм.

Покажем, что у него противоположные стороны попарно равны и параллельны.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то у него противоположные стороны равны и параллельны, то есть

Поскольку $M$ — середина $BC$, имеем

Поскольку $N$ — середина $AD$, имеем

Но $BC = AD$, значит

Кроме того, отрезок $MC$ лежит на прямой $BC$, а отрезок $AN$ лежит на прямой $AD$. Так как $BC \parallel AD$, то

Итак, в четырёхугольнике $AMCN$ одна пара противоположных сторон ($MC$ и $AN$) равна и параллельна.

По признаку параллелограмма: если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно,

— параллелограмм.

Что и требовалось доказать.