Дан треугольник ABC. Прямая DB перпендикулярна плоскости ABC, AB = DB, BC=6√3, ∠BAC=90°, ∠CDA=45°. Найдите длину отрезка DC, используя теорему о трёх перпендикулярах.

Рассмотрим задачу внимательно.

Дано:

• $DB \perp (ABC)$, то есть прямая $DB$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$;

• $AB = DB$;

• $BC = 6\sqrt{3}$;

• $\angle BAC = 90^\circ$;

• $\angle CDA = 45^\circ$.

Нужно найти $DC$.

Так как $DB \perp (ABC)$, точка $B$ — это проекция точки $D$ на плоскость $ABC$.

Теперь рассмотрим отрезок $DA$. Его ортогональная проекция на плоскость $ABC$ — это отрезок $BA$, потому что:

• точка $D$ проектируется в $B$,

• точка $A$ уже лежит в плоскости, значит проектируется сама в себя.

То есть проекция наклонной $DA$ на плоскость — это $BA$.

Далее, по условию $\angle BAC = 90^\circ$, значит

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах из того, что проекция наклонной $DA$ на плоскость, то есть $BA$, перпендикулярна $AC$, следует, что и сама наклонная $DA$ перпендикулярна $AC$:

Значит, треугольник $ADC$ прямоугольный, причём

Но по условию

Следовательно, в треугольнике $ADC$ углы при $D$ и $C$ равны по $45^\circ$, а значит он равнобедренный прямоугольный:

Теперь найдём $AD$.

Так как $DB \perp (ABC)$, то $DB \perp AB$ (ведь $AB$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $B$).

Значит, треугольник $ABD$ прямоугольный, причём по условию

Следовательно, треугольник $ABD$ — равнобедренный прямоугольный, и его гипотенуза

Тогда и

Теперь перейдём к треугольнику $ABC$. Он прямоугольный при $A$, поэтому по теореме Пифагора:

Подставим $AC = AB\sqrt{2}$:

Отсюда

По условию $BC = 6\sqrt{3}$, значит

Тогда

Осталось найти $DC$.

В треугольнике $ADC$ это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, значит