Найдите объем призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной 2, а боковые ребра равны \(10\sqrt{3}\) и наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.

Объем призмы равен площади основания, умноженной на высоту:

Сначала найдем высоту призмы.

Боковое ребро равно $10\sqrt{3}$ и наклонено к плоскости основания под углом $30^\circ$. Высота призмы — это перпендикулярная составляющая бокового ребра к плоскости основания, то есть

Так как

то

Теперь найдем площадь основания. Основание — правильный шестиугольник со стороной 2.

Формула площади правильного шестиугольника:

При $a=2$:

Теперь вычислим объем:

Ответ:

Если расписать совсем кратко, то решение сводится к двум шагам: найти высоту через синус угла наклона бокового ребра к основанию, а потом умножить площадь правильного шестиугольника на эту высоту.