Точка E — середина ребра DD1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми CE и AC1.

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

Дано: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и точка $E$ — середина ребра $D D_1$. Нужно найти угол между прямыми $CE$ и $AC_1$.

Шаг 1. Введём координаты

Для удобства примем, что куб имеет сторону $a$, и расположим его в пространстве так:

• $A(0,0,0)$

• $B(a,0,0)$

• $C(a,a,0)$

• $D(0,a,0)$

• $A_1(0,0,a)$

• $B_1(a,0,a)$

• $C_1(a,a,a)$

• $D_1(0,a,a)$

Тогда точка $E$, середина $D D_1$, имеет координаты:

Шаг 2. Найдём векторы прямых

• Прямая $CE$: вектор $\vec{CE} = E - C = (0 - a, a - a, \frac{a}{2} - 0) = (-a, 0, \frac{a}{2})$

• Прямая $AC_1$: вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a)$

Шаг 3. Используем формулу косинуса угла между векторами

Формула:

Скалярное произведение:

Длины векторов: