Верное ли утверждение:1) через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной прямой.2) треугольник, имеющие равные площади, равны.

Разберём каждое утверждение подробно:

1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных данной прямой.»

Это утверждение неверное, если рассматривать геометрию по Евклиду (классическая планиметрия). Согласно пятому постулату Евклида (постулат о параллельных прямых): через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

То есть: если есть прямая L и точка P вне этой прямой, то существует единственная прямая, которая проходит через P и не пересекает L — это и есть параллельная прямая.

Бесчисленное множество прямых через точку параллельных одной прямой возможно только в неевклидовых геометриях, например, в гиперболической геометрии, но в классической плоской геометрии утверждение неверно.

2) «Треугольники, имеющие равные площади, равны.»

Это утверждение тоже неверное. Два треугольника могут иметь одинаковую площадь, но быть абсолютно разными по форме и размерам.

Примеры:

• Один треугольник может быть широким и низким, другой — узким и высоким, при этом площади могут совпадать.

• Равенство треугольников требует совпадения сторон и углов по определённым условиям (например, по трём сторонам или по стороне и двум углам), а равенство площади не гарантирует равенство сторон и углов.

Вывод:
Оба утверждения неверны.

Первое утверждение нарушает постулат Евклида о параллельных прямых, второе — ошибочно, потому что равная площадь не равносильна равенству треугольников.