Основания трапеции равны 10 и 20 см. Сумма площадей треугольников, образованных при пересечении диагоналей трапеции и прилежащих к основаниям, равна 45 см². Найти площади этих треугольников.

Давай разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• Трапеция с основаниями $a = 10$ см и $b = 20$ см.

• Сумма площадей треугольников, образованных при пересечении диагоналей и прилежащих к основаниям, равна 45 см².

Шаг 1: Обозначим трапецию и диагонали

Обозначим трапецию $ABCD$, где $AB = b = 20$ (верхнее основание), $CD = a = 10$ (нижнее основание), а $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

При пересечении диагоналей образуются четыре треугольника. Нас интересуют два треугольника, прилежащие к основаниям:

• $\triangle ABO$ — у верхнего основания $AB$

• $\triangle CDO$ — у нижнего основания $CD$

Сумма их площадей равна 45 см².

Шаг 2: Свойство диагоналей трапеции

В трапеции диагонали делятся точкой пересечения в отношении оснований:

Аналогично для другой диагонали:

Шаг 3: Выражение площадей через площадь трапеции

Площадь треугольника, образованного пересечением диагоналей и основанием, пропорциональна произведению части диагонали, прилежащей к основанию, на высоту трапеции. Если обозначить высоту трапеции через $h$, то:

• Площадь $\triangle ABO = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1$

• Площадь $\triangle CDO = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2$

Но высоты $h_1$ и $h_2$ связаны с делением диагонали в отношении оснований. В итоге через свойства трапеции получается, что площади этих треугольников распределяются в отношении оснований.

Если обозначить площадь треугольника, прилежащего к верхнему основанию $S_1$, а к нижнему $S_2$, то для трапеции справедливо:

То есть площадь у верхнего основания в 4 раза больше площади у нижнего основания.

Шаг 4: Используем сумму площадей

Подставим:

Ответ:

• Площадь треугольника, прилежащего к верхнему основанию $AB$: 36 см²

• Площадь треугольника, прилежащего к нижнему основанию $CD$: 9 см²