В треугольнике АВС известны углы АВС=60 градусов и АСВ=90 градусов, а точка D разбивает гипотенузу на части AD=1 и DB=3. Чему равна длина отрезка CD?

Давай разберёмся с этой задачей шаг за шагом, как будто мы решаем её на доске.

Дано:

• Треугольник $ABC$ с углами: $\angle ABC = 60^\circ$, $\angle ACB = 90^\circ$, значит, $\angle BAC = 30^\circ$.

• Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$, причём $AD = 1$ и $DB = 3$.

• Нужно найти длину $CD$.

Шаг 1: Выберем координаты для удобства

Удобнее всего расположить прямоугольный треугольник в координатной плоскости:

• Пусть $C = (0,0)$ — вершина прямого угла.

• Гипотенуза $AB$ лежит где-то "сверху" относительно $C$. Так как $\angle ACB = 90^\circ$, стороны треугольника — это прямоугольные линии.

Если обозначить стороны через стандартное обозначение прямоугольного треугольника с углами 30°–60°–90°:

• Против угла 30° (в нашем случае $\angle BAC = 30^\circ$) лежит сторона $BC$ (короткая катет).

• Против угла 60° лежит сторона $AC$ (длинная катет).

• Гипотенуза $AB$ в 2 раза длиннее короткого катета.

Шаг 2: Применим свойства 30°–60°–90° треугольника

В треугольнике с углами $30°$, $60°$, $90°$:

• Катет, против 30°: $x$

• Катет, против 60°: $x \sqrt{3}$

• Гипотенуза: $2x$

Теперь определим, какой катет чему равен:

• $\angle A = 30°$, значит против него лежит $BC$ → короткий катет $BC = x$

• Против $\angle B = 60°$ лежит $AC$ → $AC = x\sqrt{3}$

• Гипотенуза $AB = 2x$

Шаг 3: Связь с точкой D

Нам дано, что $AB = AD + DB = 1 + 3 = 4$.
То есть $AB = 4$ → значит, $2x = 4 \implies x = 2$.

• Тогда короткий катет: $BC = x = 2$

• Длинный катет: $AC = x \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

• Гипотенуза: $AB = 4$ (как и дано).

Шаг 4: Координаты точек

Чтобы найти $CD$, удобно поставить $C$ в начало координат: $C = (0,0)$

• $B$ положим на ось $x$: $B = (2,0)$

• $A$ положим на ось $y$: $A = (0, 2\sqrt{3})$

Проверим гипотенузу:

Отлично, совпадает с условием.

Шаг 5: Найдем координаты D

D делит AB в отношении $AD : DB = 1 : 3$. Используем формулу деления отрезка в координатах:

Подставляем координаты: