Найти радиус вписанной в остроугольный треугольник АВС окружности, если высота ВН=12 и известно, что sin A=12/13, sin C=4/5.

Рассмотрим остроугольный треугольник $ABC$. Высота $BH=12$ опущена на сторону $AC$.

Так как треугольник остроугольный, точка $H$ лежит на стороне $AC$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$:

По условию:

Значит,

Отсюда:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$. В нём:

По условию:

Тогда:

Отсюда:

Теперь найдём основание $AC$. Для этого найдём отрезки $AH$ и $CH$.

Так как

то

Следовательно,

Аналогично:

Значит,

Тогда:

Поэтому:

Итак, стороны треугольника равны:

Площадь треугольника через основание $AC$ и высоту $BH$:

Полупериметр:

Радиус вписанной окружности находится по формуле:

Тогда:

Ответ: