Центр вписанной в остроугольный равнобедренный треугольник окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 5:3. Найдите радиус описанной окружности, если высота, проведённая к основанию, равна 32 см.

Рассмотрим остроугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$ и вершиной $A$. Высота к основанию $BC$ — это $AD$, где $D$ — основание высоты. По условию $AD=32$ см.

Так как треугольник равнобедренный ($AB=AC$), то высота $AD$ одновременно является:

• медианой ($BD=DC$),

• биссектрисой угла при вершине $A$.

Центр вписанной окружности $I$ лежит на биссектрисах, значит он лежит на $AD$.

1) Находим радиус вписанной окружности $r$

Сказано, что центр вписанной окружности делит высоту $AD$ в отношении $5:3$. Обычно это означает от вершины к основанию:

Тогда

Но $r$ — это расстояние от центра вписанной окружности до любой стороны, в частности до основания $BC$. Поскольку $AD\perp BC$ и точка $I$ лежит на $AD$, расстояние от $I$ до $BC$ равно $ID$. Значит

2) Вводим угол и выражаем стороны

Пусть $\angle A = 2\alpha$. Тогда $AD$ — биссектриса, значит $\angle BAD=\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ ($\angle D=90^\circ$):

• $AD=32$,

• $BD$ — половина основания,

• $AB$ — боковая сторона.

Тогда

Основание:

3) Используем формулу $r=\dfrac{S}{p}$

Площадь через основание и высоту:

Полупериметр:

Тогда

По условию $r=12$, значит

Перемножим:

Подставим