Пусть ABCD — произвольный четырёхугольник, K, L, M, N — соответственно середины сторон AB, BC, CD, AD. Доказать, что KLMN — параллелограмм.

Докажем через средние линии треугольников.

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Точки \(K\) и \(L\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит, отрезок \(KL\) является средней линией треугольника. Поэтому \(KL \parallel AC\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ADC\). Точки \(N\) и \(M\) — середины сторон \(AD\) и \(CD\), значит, \(NM\) тоже средняя линия этого треугольника. Поэтому \(NM \parallel AC\).

Так как \(KL \parallel AC\) и \(NM \parallel AC\), получаем: \(KL \parallel NM\).

Аналогично рассмотрим треугольник \(ABD\). Точки \(K\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AD\), значит, \(KN \parallel BD\).

В треугольнике \(BCD\) точки \(L\) и \(M\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\), значит, \(LM \parallel BD\).

Следовательно, \(KN \parallel LM\). У четырёхугольника \(KLMN\) обе пары противоположных сторон параллельны: \(KL \parallel MN\) и \(KN \parallel LM\). Значит, \(KLMN\) — параллелограмм.

0 0 Пожаловаться