В прямоугольном треугольнике MNK угол K прямой. Внешний угол при вершине M равен 120°. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 24 см. Из вершины угла K проведены высота KS и медиана KD. Найди периметр треугольника KSM, если известно, что длина медианы KD превышает длину высоты KS на 1,1 сантиметров.

В треугольнике MNK угол K = 90°, внешний угол при M = 120°, значит, угол M = 60°, угол N = 30°. Это треугольник с углами 30°, 60°, 90°. Стороны: меньший катет KM (против 30°) = \(x\), гипотенуза MN = \(2x\). Сумма гипотенузы и меньшего катета: \(2x + x = 3x = 24\) см, откуда \(x = 8\) см. Тогда KM = 8 см, MN = 16 см, KN = \(8\sqrt{3}\) см.

Медиана KD к гипотенузе равна половине гипотенузы: KD = 8 см. Высота KS находится из площади: \(S = \frac{KM \cdot KN}{2} = \frac{8 \cdot 8\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}\), и \(S = \frac{MN \cdot KS}{2} = 8 \cdot KS\), значит, KS = \(4\sqrt{3}\) см. Разность KD – KS = \(8 - 4\sqrt{3} \approx 1,07\) см, что соответствует условию (≈1,1 см).

В треугольнике KSM угол S прямой (KS ⟂ MN). KM = 8 см — гипотенуза, KS = \(4\sqrt{3}\) см — катет. По теореме Пифагора SM = \(\sqrt{KM^2 - KS^2} = \sqrt{64 - 48} = 4\) см. Периметр P = KS + SM + KM = \(4\sqrt{3} + 4 + 8 = 12 + 4\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(12 + 4\sqrt{3}\) см.

0 0 Пожаловаться