Дан тетраэдр MNPS. Точки C и D являются серединами рёбер MS и NS соответственно.
А) Докажите, что прямая CD параллельна плоскости MNP.
Б) Найдите CD, если MS=4см, NS=8см, уголMSN = 90°.

Если не сложно, расписать решение и сделать рисунок.​

Дано: тетраэдр MNPS. C — середина MS, D — середина NS.

А) Доказательство:

В треугольнике MSN отрезок CD соединяет середины сторон MS и NS. По свойству средней линии треугольника, CD ∥ MN и \(CD = \frac{1}{2} MN\).

Прямая MN лежит в плоскости MNP (так как точки M и N принадлежат этой плоскости). Прямая CD не лежит в плоскости MNP (точка S не принадлежит MNP). Если прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна всей плоскости. Следовательно, CD ∥ плоскости MNP.

Б) Нахождение CD:

В треугольнике MSN угол MSN = 90°, значит, треугольник прямоугольный с катетами MS и NS. По теореме Пифагора:

\[ MN = \sqrt{MS^2 + NS^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ см}. \]

Так как CD — средняя линия, то:

\[ CD = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \text{ см}. \]

Рисунок: Представьте тетраэдр: основание — треугольник MNP, вершина S над основанием. На ребре MS отметьте точку C посередине, на ребре NS — точку D. Отрезок CD параллелен ребру MN основания.

Отправить ответ