Длина диагонали равнобедренной трапеции равна 5, а её площадь — 12. Найдите высоту трапеции.

Пусть высота трапеции равна \( h \), а полусумма оснований равна \( p \). Тогда площадь равна:

\[ S = p h \]

По условию \( S=12 \), значит:

\[ ph=12 \]

В равнобедренной трапеции диагональ образует прямоугольный треугольник с катетами \( h \) и \( p \), поэтому:

\[ h^2+p^2=5^2 \]

Так как \( p=\frac{12}{h} \), получаем:

\[ h^2+\left(\frac{12}{h}\right)^2=25 \]

Отсюда:

\[ h^4-25h^2+144=0 \]

Пусть \( t=h^2 \). Тогда:

\[ t^2-25t+144=0 \]

\[ t=9 \;\text{или}\; t=16 \]

Значит:

\[ h=3 \;\text{или}\; h=4 \]

Ответ: высота трапеции может быть \( 3 \) или \( 4 \).

0 0 Пожаловаться