Объём правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объём призмы, вершинами которой являются середины сторон оснований данной призмы.

Пусть площадь основания исходной правильной шестиугольной призмы равна \(S\), а высота равна \(h\). Тогда её объём:

\[V=Sh\]

Новая призма имеет ту же высоту \(h\), потому что её вершины лежат в основаниях исходной призмы. Значит, нужно найти, во сколько раз изменилась площадь основания.

В правильном шестиугольнике фигура, соединяющая середины его сторон, тоже является правильным шестиугольником. Его сторона меньше в \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) раза, поэтому площадь уменьшается в квадрат этого числа:

\[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\]

Значит, объём новой призмы равен:

\[V_{new}=\frac{3}{4}V\]

Ответ: \(\frac{3V}{4}\).

0 0 Пожаловаться