В шар с радиусом R вписан конус наибольшего объёма. Найдите высоту конуса.

Пусть высота конуса равна \( h \), а радиус шара — \( R \).

Если конус вписан в шар, то радиус основания конуса выражается так:

\[ r^2 = 2Rh - h^2 \]

Объём конуса:

\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]

Подставим \( r^2 \):

\[ V = \frac{1}{3}\pi(2Rh - h^2)h \]

\[ V = \frac{1}{3}\pi(2Rh^2 - h^3) \]

Максимум этой функции достигается при:

\[ h = \frac{4R}{3} \]

Ответ: высота конуса наибольшего объёма равна \( \frac{4R}{3} \).

0 0 Пожаловаться