В конус вписан шар. Найдите объём шара, если образующая конуса равна L и наклонена к основанию конуса под углом α.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Получается равнобедренный треугольник, а вписанный в конус шар даёт окружность, вписанную в этот треугольник.

Образующая равна \(L\), угол её наклона к основанию равен \(\alpha\). Тогда высота конуса:

\[h=L\sin\alpha\]

Радиус основания конуса:

\[R=L\cos\alpha\]

Радиус вписанного шара равен радиусу вписанной окружности осевого сечения:

\[r=\frac{Rh}{L+R}\]

Подставим \(R\) и \(h\):

\[r=\frac{L\cos\alpha\cdot L\sin\alpha}{L+L\cos\alpha}=\frac{L\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\]

Тогда объём шара:

\[V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{L\sin\alpha\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\right)^3\]

0 0 Пожаловаться