Зачем для измерения углов ввели новую единицу измерения — радиан? Разве недостаточно было использовать уже известную единицу измерения — градус? Как соотнести эти две единицы измерения?

Градусов вполне достаточно для бытовых и геометрических задач: сказать «угол 90°» обычно удобно и понятно. Радианы ввели не потому, что градусы неверны, а потому, что в математике и физике они оказываются гораздо естественнее.

Радиан определяется через саму окружность. Угол в 1 радиан — это центральный угол, который отсекает на окружности дугу, равную по длине радиусу этой окружности.

То есть мера угла в радианах вычисляется так:

где $l$ — длина дуги, а $r$ — радиус.

Это определение не зависит от размера окружности: на большой и на маленькой окружностях один и тот же угол отсекает дуги, пропорциональные радиусу одинаково.

Главное преимущество радиан — простота важных формул. Если угол $\varphi$ выражен в радианах, то:

— длина дуги;

— площадь сектора;

— линейная скорость точки при вращении;

— нормальное ускорение.

В градусах во все эти формулы пришлось бы постоянно добавлять множитель $\pi/180$. Например, длина дуги при угле $\alpha$ градусов была бы равна

В анализе радианы практически незаменимы. Только при измерении угла в радианах верны особенно простые формулы:

Если же $x$ измерять в градусах, то производная синуса будет содержать лишний коэффициент:

Поэтому радиан — естественная единица для формул, связанных с окружностями, колебаниями, волнами, вращением и математическим анализом. Градус остаётся удобной практической единицей: он хорошо подходит для чертежей, навигации, географии и повседневного описания углов.

Соотношение между единицами такое:

Отсюда:

Для перевода градусов в радианы нужно умножить число градусов на $\pi/180$:

Для перевода радиан в градусы нужно умножить на $180/\pi$:

Итак, градусы удобны для счёта и общения, а радианы удобны для самой математики: они напрямую связывают угол с длиной дуги и делают основные законы вращения и тригонометрии наиболее простыми.