Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины равнобедренного треугольника.

Пусть даны два равнобедренных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых основания равны:

и биссектрисы, проведённые из вершин равнобедренных треугольников, также равны:

где $AD$ — биссектриса угла $A$, а $A_1D_1$ — биссектриса угла $A_1$.

Докажем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то его боковые стороны равны:

Биссектриса, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, обладает свойством: она одновременно является медианой и высотой. Значит, точка $D$ — середина основания $BC$, поэтому:

Аналогично для второго треугольника:

и

Так как основания треугольников равны:

то их половины тоже равны:

По условию биссектрисы равны:

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$. В них:

• $AD = A_1D_1$ (по условию);
• $BD = B_1D_1$ (так как основания равны и биссектрисы являются медианами);
• углы $D$ и $D_1$ — прямые.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$ равны по двум катетам.

Из равенства этих треугольников получаем:

Но в равнобедренных треугольниках боковые стороны равны, поэтому:

Следовательно,

Теперь имеем:

То есть три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника. По третьему признаку равенства треугольников:

Следовательно, два равнобедренных треугольника равны, если их основания и биссектрисы, проведённые из вершин, соответственно равны.

0 0 Пожаловаться