Начертите прямоугольник ABCD и отметьте точку К, симметричную точке А относительно точки В. Докажите, что S_ABCD = S_AKD.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$. Точка $K$ симметрична точке $A$ относительно точки $B$.

Доказать: $S_{ABCD}=S_{AKD}$.

Чертёж

Доказательство

1. Так как точка $K$ симметрична точке $A$ относительно точки $B$, то точка $B$ является серединой отрезка $AK$.

Следовательно,

Отсюда:

2. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон:

3. Рассмотрим треугольник $AKD$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то $AD\perp AB$.

Точки $A$, $B$, $K$ лежат на одной прямой, поэтому $AD\perp AK$.

Значит, треугольник $AKD$ прямоугольный, а его катеты — $AK$ и $AD$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

4. Подставим $AK=2AB$:

Сократим на 2:

5. Сравним полученные площади:

Следовательно,

Что и требовалось доказать.