2) Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Докажите, что сумма боковых сторон трапеции равна большему основанию.

Пусть в трапеции \(ABCD\) основания \(AD\) и \(BC\), причём большее основание — \(AD\). Биссектрисы тупых углов при основании \(BC\) пересекаются в точке \(P\) на основании \(AD\).

Так как \(AD \parallel BC\), то угол между \(BP\) и \(AD\) равен углу между \(BP\) и \(BC\):

\[\angle APB = \angle PBC.\]

Но \(BP\) — биссектриса угла \(ABC\), значит:

\[\angle ABP = \angle PBC.\]

Отсюда \(\angle ABP = \angle APB\), поэтому треугольник \(ABP\) равнобедренный, и \(AB = AP\).

Аналогично для треугольника \(CDP\): так как \(CP\) — биссектриса угла \(BCD\), а \(AD \parallel BC\), получаем \(CD = DP\).

Точка \(P\) лежит на основании \(AD\), поэтому:

\[AD = AP + DP.\]

Заменяем \(AP\) на \(AB\), а \(DP\) на \(CD\):

\[AD = AB + CD.\]

Значит, сумма боковых сторон трапеции равна её большему основанию.

0 0 Пожаловаться