В прямоугольном треугольнике вневписанная окружность касается гипотенузы и продолжения катетов. Радиус вневписанной окружности равен 10 см, а вписанной - 2 см. Найдите гипотенузу треугольника. 

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$.

Дано:

• радиус вписанной окружности $r=2$ см;
• радиус вневписанной окружности, которая касается гипотенузы и продолжений катетов, $R=10$ см.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой:

Подставим $r=2$:

откуда

Следовательно,

Теперь используем формулу для вневписанной окружности, противоположной прямому углу:

Подставляем известные значения:

получаем:

Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора:

Раскроем через сумму и произведение катетов:

Так как $a+b=c+4$, а $ab=40$, имеем:

Сокращаем $c^2$:

Следовательно, гипотенуза треугольника равна:

0 0 Пожаловаться