В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: AB=3, AD=4, CC1=9. Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB. Подскажите пожалуйста, какой угол является искомым. Спасибо за ранее.

Плоскость \(ABC\) — это нижнее основание параллелепипеда. Нужно найти угол между этой плоскостью и плоскостью \(A_1DB\).

Линия пересечения этих плоскостей — прямая \(DB\), потому что точки \(D\) и \(B\) лежат и в плоскости \(ABC\), и в плоскости \(A_1DB\).

Значит, искомый двугранный угол надо смотреть в сечении, перпендикулярном прямой \(DB\). Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей основания. Тогда в прямоугольнике \(ABCD\) прямая \(AC\) перпендикулярна \(DB\), так как стороны основания \(3\) и \(4\), а диагонали получаются взаимно перпендикулярными не всегда. Поэтому просто брать \(AC\) нельзя.

Правильнее найти угол через нормали к плоскостям.

Возьмём координаты:

\[ A(0;0;0),\ B(3;0;0),\ D(0;4;0),\ A_1(0;0;9) \]

Плоскость \(ABC\) имеет нормаль \(\vec n_1=(0;0;1)\).

Для плоскости \(A_1DB\) можно получить нормаль:

\[ \vec n_2=(36;27;12) \]

Тогда косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между их нормалями:

\[ \cos \varphi=\frac{|\vec n_1\cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot |\vec n_2|}=\frac{12}{\sqrt{36^2+27^2+12^2}} \]

\[ \cos \varphi=\frac{12}{\sqrt{2169}}=\frac{4}{\sqrt{241}} \]

Ответ: искомый угол \(\varphi\) задаётся равенством \(\cos \varphi=\frac{4}{\sqrt{241}}\), то есть \(\varphi\approx 75^\circ\).

0 0 Пожаловаться