В классе 21 шестиклассник, среди них два друга - Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек. Какова вероятность того, что Митя и Петя попадут в одну группу?

Для решения задачи будем использовать методы теории вероятностей.

1. Общее количество способов разделить класс на три группы:

Всего в классе 21 человек. Мы хотим разделить их на три группы по 7 человек. Количество способов разделить 21 человека на три группы по 7 человек можно найти с помощью формулы сочетаний для разбиения на группы. Это выражается через перестановки и деление на симметрию (то есть обмен группами).

Первоначально мы можем выбрать 7 человек для первой группы, потом 7 человек для второй, а оставшиеся автоматически попадут в третью группу. Количество способов сделать это будет:

Однако, так как группы неупорядочены, то нужно разделить на количество перестановок групп, то есть на 3! (факториал числа 3):

2. Количество способов, при которых Митя и Петя в одной группе:

Теперь, если Митя и Петя должны быть в одной группе, то нужно выбрать еще 5 человек, чтобы составить группу из 7. Таким образом, для первой группы мы уже фиксировали Митю и Петю, и нужно выбрать 5 человек из оставшихся 19.

Число способов выбрать 5 человек из 19 равно:

После того, как мы сформировали первую группу, из оставшихся 14 человек нужно разделить их на две группы по 7 человек. Количество способов сделать это:

3. Вероятность того, что Митя и Петя будут в одной группе:

Теперь, чтобы найти вероятность, нужно поделить количество благоприятных случаев (когда Митя и Петя в одной группе) на общее количество способов разделить класс на группы:

После упрощения выражений получаем вероятность:

Таким образом, вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной группе, равна $\frac{3}{20}$, или 15%.