Найдите наибольшее значение функции \( y = x^3 + x^2 - 21x - 13 \) на отрезке \([-8; 0]\).

Найдём экстремумы функции $y=x^3+x^2-21x-13$ на отрезке $[-8,0]$.

1. Производная:

Критические точки: $x=-3$ и $x=\tfrac{7}{3}$. Из них в отрезок $[-8,0]$ попадает только $x=-3$.

2. Знаки производной:

• На $(- \infty,-3)$: $x+3<0,\;3x-7<0 \Rightarrow y'>0$ — функция возрастает.

• На $(-3,\tfrac{7}{3})$: $x+3>0,\;3x-7<0 \Rightarrow y'<0$ — функция убывает.

Значит, на $[-8,0]$ функция возрастает до $x=-3$, затем убывает — следовательно, максимум на отрезке достигается в точке $x=-3$.

3. Проверим значения в конце отрезка и в критической точке:

Наибольшее значение: $\boxed{32}$ при $x=\boxed{-3}$.