Известно, что \( f(x) = \log_3 (5x - 2) \). Решите уравнение \( f(x) = f(3x - 1) \).

У нас есть функция $f(x) = \log_3(5x - 2)$, и нужно решить уравнение $f(x) = f(3x - 1)$.

Шаг 1: Подставим выражение для $f(x)$ в уравнение.

Из уравнения $f(x) = f(3x - 1)$ получаем:

Шаг 2: Упростим правую часть уравнения.

Распишем выражение внутри логарифма на правой части:

Таким образом, уравнение становится:

Шаг 3: Используем свойство логарифмов.

Поскольку логарифмы с одинаковыми основаниями равны только тогда, когда их аргументы равны, мы можем приравнять аргументы логарифмов:

Шаг 4: Решим полученное линейное уравнение.

Переносим все слагаемые с $x$ в одну сторону, а все числа — в другую:

Делим обе части на -10:

Шаг 5: Проверим, что решение подходит.

Подставим $x = \frac{1}{2}$ в исходное уравнение и проверим, что логарифмы равны:

Для $f(x)$:

Для $f(3x - 1)$:

В обоих случаях получаем $\log_3\left( \frac{1}{2} \right)$, значит, $x = \frac{1}{2}$ — правильное решение.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.