X² - 4x ≥ 0. Решить неравенство.

Решим неравенство:
$x^2 - 4x \ge 0$.

1. Вынесем общий множитель:

Неравенство принимает вид:

2. Найдём нули (корни) выражения:

Приравниваем к нулю:

Отсюда два корня:

• $x = 0$,

• $x = 4$.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

1. $(-\infty; 0)$

2. $(0; 4)$

3. $(4; +\infty)$

4. Определим знак выражения на каждом промежутке.

Берём тестовую точку из каждого промежутка и подставляем в $x(x - 4)$:

• Для $(-\infty; 0)$, например $x = -1$:

  $x(x - 4) = (-1)(-1 - 4) = (-1)(-5) = 5 > 0$.
  Значит, на всём промежутке $(-\infty; 0)$ выражение положительно.

• Для $(0; 4)$, например $x = 2$:

  $x(x - 4) = 2(2 - 4) = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$.
  На промежутке $(0; 4)$ выражение отрицательно.

• Для $(4; +\infty)$, например $x = 5$:

  $x(x - 4) = 5(5 - 4) = 5 \cdot 1 = 5 > 0$.
  На промежутке $(4; +\infty)$ выражение снова положительно.

4. Учтём знак неравенства «≥ 0».

Нас устраивают те $x$, при которых:

то есть выражение больше либо равно нулю. Это значит:

• берём все промежутки, где знак «+» (положительное значение),

• и включаем точки, в которых выражение равно нулю, то есть $x = 0$ и $x = 4$.

По результатам:

• $(-\infty; 0)$ — подходит (положительные значения);

• $x = 0$ — подходит (равно нулю);

• $(0; 4)$ — не подходит (отрицательные значения);

• $x = 4$ — подходит (равно нулю);

• $(4; +\infty)$ — подходит (положительные значения).

5. Записываем ответ.

Объединяем подходящие промежутки:

Ответ:
Все действительные $x$, такие что

то есть