(2 в 5 степени) во 2 * 3 в 10 степени/ 6 в 7 степени

Для того чтобы решить выражение $\frac{2^5 \cdot 3^{10}}{6^7}$, давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с того, что $6$ можно представить как произведение двух простых чисел: $6 = 2 \cdot 3$. Таким образом, $6^7$ можно записать как $(2 \cdot 3)^7$.

2. Теперь воспользуемся свойствами степени: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Таким образом:

   $$6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7$$

3. Теперь подставим это в исходное выражение:

   $$\frac{2^5 \cdot 3^{10}}{6^7} = \frac{2^5 \cdot 3^{10}}{2^7 \cdot 3^7}$$

4. Используя свойства деления степеней с одинаковыми основаниями, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, можем упростить дробь:

   $$\frac{2^5}{2^7} = 2^{5-7} = 2^{-2}$$ $$\frac{3^{10}}{3^7} = 3^{10-7} = 3^3$$

5. Теперь подставим полученные результаты:

   $$2^{-2} \cdot 3^3$$

6. $2^{-2}$ означает $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$, а $3^3 = 27$. Таким образом:

   $$\frac{1}{4} \cdot 27 = \frac{27}{4}$$

Ответ: $\frac{27}{4}$.