Найдите все корни уравнения \( 3 \tan^2 x = 1 \), удовлетворяющие неравенству \( \sin x < 0 \).

Для того чтобы решить уравнение $3 \tan^2 x = 1$, начнём с того, что преобразуем его.

1. Разделим обе части уравнения на 3:

   $$\tan^2 x = \frac{1}{3}.$$

2. Из этого следует, что:

   $$\tan x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Теперь найдём значения $x$, для которых $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

1. Решение $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Значение $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ соответствует углу $x = \frac{\pi}{6}$, так как $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Период функции тангенса равен $\pi$, поэтому общее решение для $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ будет:

2. Решение $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Значение $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ соответствует углу $x = -\frac{\pi}{6}$, так как $\tan \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Общее решение для $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ будет:

Условие $\sin x < 0$

Теперь нужно найти такие решения, для которых выполняется неравенство $\sin x < 0$, то есть $x$ должен лежать в тех промежутках, где синус отрицателен. Это происходит, когда $x$ находится в третьей и четвёртой областях единичной окружности, то есть на отрезках:

Рассмотрим решения для $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

Решение $x = \frac{\pi}{6} + n\pi$ даёт следующие значения:

• При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$, где $\sin \frac{\pi}{6} > 0$