Производная sin^2 (2x)

Для нахождения производной функции $\sin^2(2x)$ будем использовать правило дифференцирования сложных функций, а именно — цепное правило.

1. Рассмотрим функцию $y = \sin^2(2x)$. Это можно записать как $y = (\sin(2x))^2$, где внутренняя функция — это $\sin(2x)$, а внешняя — возведение в квадрат.

2. Для применения цепного правила дифференцируем внешнюю функцию (квадрат) по её аргументу, а затем умножаем на производную внутренней функции.

Производная от $(\sin(2x))^2$ будет:

3. Теперь найдём производную от $\sin(2x)$. Для этого применим цепное правило к $\sin(2x)$, поскольку внутри есть ещё функция $2x$. Производная $\sin(2x)$ по $x$ равна $2\cos(2x)$, так как производная от $2x$ равна 2.

Итак, окончательно:

4. Для упрощения выражения можно воспользоваться тригонометрической формулой удвоенного угла:

Применяя её к $4\sin(2x)\cos(2x)$, получаем:

Ответ: производная функции $\sin^2(2x)$ равна $2\sin(4x)$.