Y=корень из -11+12х-х^2 Найти точку максимума функции

Рассмотрим функцию $y=\sqrt{-11+12x-x^2}$.

1. Область определения: подкоренное выражение неотрицательно

Корни квадратного трёхчлена: $x=\frac{12\pm\sqrt{144-44}}{2}=\frac{12\pm10}{2}\Rightarrow x=1$ и $x=11$.
Значит, $x\in[1,11]$.

2. Заметим, что корень — функция монотонно возрастающая по подкоренному выражению, поэтому максимум $y$ достигается там, где максимум достигает парабола $f(x)=-11+12x-x^2$ (ветви вниз). Вершина этой параболы при

Значение в вершине:

следовательно,

Эквивалентная наглядная форма:

то есть верхняя полуокружность радиуса $5$ с центром в точке $x=6$; максимум по $y$ — в вершине полуокружности при $x=6$.

Итак, точка максимума функции: $\boxed{(6;\,5)}$.