Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \frac{1}{3}\cos^2x - \frac{1}{3}\sin^2x + 1 \).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \frac{1}{3} \cos^2 x - \frac{1}{3} \sin^2 x + 1$, давайте сначала упростим выражение для $y$.

1. Используем тригонометрическое тождество:

   Мы знаем, что $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Это тождество позволяет выразить функцию в более удобной форме. Мы можем переписать функцию $y$ следующим образом:

   $$y = \frac{1}{3} (\cos^2 x - \sin^2 x) + 1$$

2. Используем формулу для косинуса двойного угла:

   Также есть известная формула для косинуса двойного угла:

   $$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$

   Подставляем это в нашу функцию:

   $$y = \frac{1}{3} \cos 2x + 1$$

3. Анализируем значения функции:

   Теперь у нас есть функция $y = \frac{1}{3} \cos 2x + 1$. Косинус функции $\cos 2x$ принимает значения от $-1$ до $1$ для всех $x$.

   Таким образом, $\frac{1}{3} \cos 2x$ будет принимать значения от $\frac{1}{3} \times (-1) = -\frac{1}{3}$ до $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$.

   Добавляя 1 к этим значениям, получаем, что функция $y$ будет принимать значения от:

   $$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

   до:

   $$1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$

4. Ответ:

   Наибольшее значение функции $y$ равно $\frac{4}{3}$, а наименьшее значение функции $y$ равно $\frac{2}{3}$.