sinx + sin5x = 0 как правильно решить?

Решим уравнение

1. Используем формулу суммы синусов

Есть стандартная тригонометрическая формула:

В нашем случае:
$\alpha = x$, $\beta = 5x$.

Тогда:

Но $\cos(-2x) = \cos 2x$, поэтому:

Уравнение $\sin x + \sin 5x = 0$ превращается в:

Коэффициент 2 роли не играет, делим на 2:

2. Разбиваем на два случая

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\sin 3x = 0$

2. $\cos 2x = 0$

Решаем каждое уравнение отдельно.

3. Решение $\sin 3x = 0$

Общее решение для $\sin t = 0$:

Подставляем $t = 3x$:

4. Решение $\cos 2x = 0$

Общее решение для $\cos t = 0$:

Подставляем $t = 2x$:

5. Проверка на пересечение решений

Первое семейство:

Второе семейство:

Попробуем приравнять:

Сокращаем на $\pi$:

Умножаем на 12:

Левая часть — чётное число, правая — нечётное (3 + чётное), значит равенство невозможно.
Следовательно, решения не пересекаются, то есть это действительно два разных семейства.

6. Итоговый ответ

Общее решение уравнения

такое: