Найти производные dy / dx данных функций y=sin^2 x/ (2+3 cos^2 x)

Ответы на вопрос

Отвечает Толокольников Влад.

Для нахождения производной функции $y = \frac{\sin^2 x}{2 + 3 \cos^2 x}$ по $x$ , применим правило дифференцирования дроби и цепное правило.

Функция представляет собой дробь, где числитель — это $\sin^2 x$ , а знаменатель — это $2 + 3 \cos^2 x$ .

Если функция имеет вид $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ , то её производная по $x$ вычисляется по формуле:

\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{(g(x))^2}

Здесь:

Числитель $f(x) = \sin^2 x$ можно дифференцировать с помощью цепного правила:

f'(x) = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin(2x)

Знаменатель $g(x) = 2 + 3 \cos^2 x$ . Для нахождения производной используем цепное правило для $\cos^2 x$ :

g'(x) = 3 \cdot 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -6 \cos x \sin x

Теперь подставим найденные производные в формулу для дифференцирования дроби:

\frac{dy}{dx} = \frac{(\sin(2x))(2 + 3 \cos^2 x) - (\sin^2 x)(-6 \cos x \sin x)}{(2 + 3 \cos^2 x)^2}

Упростим числитель:

\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(2x) (2 + 3 \cos^2 x) + 6 \cos x \sin^3 x}{(2 + 3 \cos^2 x)^2}

Это и будет производная функции $y$ по $x$ .

\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(2x) (2 + 3 \cos^2 x) + 6 \cos x \sin^3 x}{(2 + 3 \cos^2 x)^2}

Ответы на вопрос