При каких значениях параметра \( a \) решением уравнения \((a^2 - 2a + 1)x = a^2 + 2a - 3\) является любое действительное число?

Для того чтобы решить уравнение $(a^2 - 2a + 1)x = a^2 + 2a - 3$ при любом значении $x$, нужно, чтобы коэффициент при $x$ в левой части уравнения равнялся нулю. Тогда правая часть уравнения также должна равняться нулю, чтобы уравнение имело решение для любого $x$.

1. Рассмотрим левую часть уравнения:

   $$a^2 - 2a + 1$$

   Это выражение является полным квадратом:

   $$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$$

   Таким образом, уравнение принимает вид:

   $$(a - 1)^2 x = a^2 + 2a - 3$$

2. Теперь рассмотрим случай, когда $(a - 1)^2 = 0$, то есть когда $a = 1$. В этом случае левая часть уравнения будет равна нулю, и уравнение становится:

   $$0 = a^2 + 2a - 3$$

   Подставляем $a = 1$ в правую часть:

   $$1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$$

   Таким образом, при $a = 1$ уравнение действительно имеет решение для любого $x$, поскольку обе части уравнения равны нулю.

3. Рассмотрим случай, когда $(a - 1)^2 \neq 0$, то есть когда $a \neq 1$. В этом случае выражение $(a - 1)^2$ не равно нулю, и уравнение принимает вид:

   $$x = \frac{a^2 + 2a - 3}{(a - 1)^2}$$

   Это уравнение имеет единственное решение для конкретного значения $x$, но не для всех $x$, то есть оно не выполняется при любом $x$.

Следовательно, единственное значение параметра $a$, при котором уравнение имеет решение для любого действительного числа $x$, — это $a = 1$.