При каких целых значениях n дробь (4n-5)/(2n-1) является натуральным числом?

Чтобы найти целые значения $n$, при которых дробь $\frac{4n - 5}{2n - 1}$ является натуральным числом, нужно решить задачу следующим образом.

Давайте рассмотрим дробь:

Нам нужно, чтобы эта дробь была натуральным числом, то есть результат деления должен быть целым числом, больше или равным 1. То есть, мы ищем такие значения $n$, при которых выражение $\frac{4n - 5}{2n - 1}$ — целое число.

Шаг 1. Упростим дробь.

Для этого мы будем искать, при каких $n$ числитель делится нацело на знаменатель. То есть, дробь $\frac{4n - 5}{2n - 1}$ должна быть целым числом. Для этого проведем деление полиномов. Разделим $4n - 5$ на $2n - 1$.

Используем метод деления многочленов:

1. Делаем первый шаг деления: $\frac{4n}{2n} = 2$.

2. Умножаем $2$ на $2n - 1$, получаем $2(2n - 1) = 4n - 2$.

3. Теперь вычитаем $4n - 2$ из $4n - 5$:

Получили остаток $-3$. Значит:

Таким образом, дробь $\frac{4n - 5}{2n - 1}$ равна $2$ плюс остаток $\frac{-3}{2n - 1}$. Чтобы эта дробь была целым числом, остаток $\frac{-3}{2n - 1}$ должен быть целым числом. Это возможно только в случае, когда $2n - 1$ делит $-3$.

Шаг 2. Найдем делители числа $-3$.

Делители числа $-3$ — это $\pm 1$ и $\pm 3$. То есть, нам нужно решить уравнение:

Шаг 3. Рассмотрим каждый случай.

1. Если $2n - 1 = 1$, то $2n = 2$, и $n = 1$.

2. Если $2n - 1 = -1$, то $2n = 0$, и $n = 0$.

3. Если $2n - 1 = 3$, то $2n = 4$, и $n = 2$.

4. Если $2n - 1 = -3$, то $2n = -2$, и $n = -1$.

Шаг 4. Проверим, при каких значениях $n$ дробь является натуральным числом.

Подставим найденные значения $n$ в исходное выражение $\frac{4n - 5}{2n - 1}$.

• Для $n = 1$:

  $$\frac{4(1) - 5}{2(1) - 1} = \frac{4 - 5}{2 - 1} = \frac{-1}{1} = -1$$

  Это не натуральное число.

• Для $n = 0$:

  $$\frac{4(0) - 5}{2(0) - 1} = \frac{-5}{-1} = 5$$

  Это натуральное число.

• Для $n = 2$:

  $$\frac{4(2) - 5}{2(2) - 1} = \frac{8 - 5}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1$$