решите уравнение (х² - 6x)² + 2(x - 3)² = 81

Для решения уравнения $(x^2 - 6x)^2 + 2(x - 3)^2 = 81$, начнем с упрощения и приведения его к более удобному виду.

1. Раскроем квадраты:

   $(x^2 - 6x)$ можно записать как $(x - 3)^2 - 9$, так как $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$.

2. Подставим это в уравнение:

   $$\left( (x - 3)^2 - 9 \right)^2 + 2(x - 3)^2 = 81$$

3. Далее, для упрощения введем новую переменную. Пусть:

   $$y = (x - 3)^2$$

   Теперь уравнение примет вид:

   $$(y - 9)^2 + 2y = 81$$

4. Раскроем квадрат в первом слагаемом:

   $$(y - 9)^2 = y^2 - 18y + 81$$

   Тогда уравнение становится:

   $$y^2 - 18y + 81 + 2y = 81$$

5. Упростим уравнение:

   $$y^2 - 16y + 81 = 81$$

6. Отнимем 81 с обеих сторон:

   $$y^2 - 16y = 0$$

7. Вынесем $y$ за скобки:

   $$y(y - 16) = 0$$

8. Решаем полученное уравнение:

   $$y = 0 \quad \text{или} \quad y = 16$$

9. Подставим обратно $y = (x - 3)^2$:

   • Если $y = 0$, то $(x - 3)^2 = 0$, следовательно, $x - 3 = 0$, и $x = 3$.

   • Если $y = 16$, то $(x - 3)^2 = 16$, следовательно, $x - 3 = \pm 4$, и $x = 3 \pm 4$, то есть $x = 7$ или $x = -1$.

10. Ответ:

$x = 3$, $x = 7$ или $x = -1$.