В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, угол A равен 30°, AB = 2. Найдите AH.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, значит, это прямоугольный треугольник. Дано, что угол A равен 30°, и длина гипотенузы AB равна 2.

Для начала определим длины катетов. В прямоугольном треугольнике с углом 30° противолежащий катет (AC) в два раза короче гипотенузы, а прилежащий катет (BC) равен гипотенузе, умноженной на $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. Длина катета AC:

Поскольку угол A равен 30°, то катет AC (противоположный углу 30°) в два раза меньше гипотенузы AB. Следовательно:

2. Длина катета BC:

Катет BC (прилежащий угол 30°) равен гипотенузе, умноженной на $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

Теперь перейдём к нахождению длины AH, где H — это основание высоты CH, опущенной из угла C на гипотенузу AB.

Используем формулу для площади треугольника двумя способами. Площадь треугольника можно выразить через катеты или через гипотенузу и высоту.

Площадь треугольника через катеты AC и BC:

Площадь треугольника через гипотенузу AB и высоту CH:

Так как площади треугольника одинаковы, приравниваем их:

Теперь, чтобы найти длину AH, воспользуемся тем, что точка H делит гипотенузу AB на два отрезка: AH и BH. Мы можем воспользоваться отношением площадей двух меньших треугольников, образованных высотой CH.

Так как угол A равен 30°, то треугольник AHC является прямоугольным и его катет AH в два раза меньше, чем гипотенуза AB. Следовательно:

Таким образом, длина AH равна 1.