Решите неравенство х²+3х+2>0

Рассмотрим неравенство:

$x^2 + 3x + 2 > 0.$

1. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$. Для этого используем формулу дискриминанта.

   Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

   $D = b^2 - 4ac.$

   В нашем случае $a = 1$, $b = 3$, $c = 2$, поэтому:

   $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1.$

2. Находим корни уравнения. Корни квадратного уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ вычисляются по формуле:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

   Подставим значения:

   $x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 1}{2}.$

   Таким образом, два корня:

   $x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2.$

   Корни уравнения: $x = -1$ и $x = -2$.

3. Анализируем неравенство. Мы знаем, что парабола $y = x^2 + 3x + 2$ имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при $x^2$ положительный), и пересекает ось $x$ в точках $x = -2$ и $x = -1$.

   Рассмотрим знаки выражения $x^2 + 3x + 2$ на интервалах, определённых этими корнями:

   • Для $x < -2$ (например, $x = -3$): подставляем $x = -3$ в исходное выражение:

     $(-3)^2 + 3(-3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2.$

     Значение положительное, значит, на интервале $(-\infty, -2)$ неравенство выполняется.

   • Для $-2 < x < -1$ (например, $x = -1.5$): подставляем $x = -1.5$ в исходное выражение:

     $(-1.5)^2 + 3(-1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25.$

     Значение отрицательное, значит, на интервале $(-2, -1)$ неравенство не выполняется.

   • Для $x > -1$ (например, $x = 0$): подставляем $x = 0$ в исходное выражение:

     $0^2 + 3(0) + 2 = 2.$

     Значение положительное, значит, на интервале $(-\infty, -1)$ неравенство выполняется.

4. Ответ: Неравенство $x^2 + 3x + 2 > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-1, \infty)$.