Решите неравенство log1/7(4x+1)>-2

Для решения неравенства $\log_{\frac{1}{7}}(4x + 1) > -2$ нужно следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Перевести логарифм в экспоненциальную форму

Логарифм можно выразить через экспоненциальное равенство. Для этого воспользуемся определением логарифма. Логарифм с основанием $\frac{1}{7}$ и значением $\log_{\frac{1}{7}}(4x + 1)$ можно переписать как:

Так как $\frac{1}{7}$ — это число, меньшее 1, то возведение его в отрицательную степень приводит к значению больше 1. Поэтому:

Таким образом, у нас получается следующее равенство:

Шаг 2: Решение для $x$

Теперь решим это линейное уравнение:

Вычитаем 1 с обеих сторон:

Делим обе стороны на 4:

Шаг 3: Исследование знака логарифма

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{7}$ меньше 1, логарифм является убывающей функцией. Это означает, что для значений $x$, при которых выражение $4x + 1$ больше 1, логарифм будет уменьшаться по мере увеличения $x$.

Мы знаем, что логарифм с основанием меньше 1 принимает отрицательные значения для $x$, если $4x + 1 > 1$, что выполняется при $x > 0$. Таким образом, рассматриваемый логарифм существует и определен при $4x + 1 > 0$, то есть $x > -\frac{1}{4}$.

Шаг 4: Учет направления неравенства

Для логарифма с основанием меньше 1 знак неравенства меняется при переходе от уравнения к решению неравенства. Таким образом, для неравенства:

переписываем его в экспоненциальной форме, как:

Вычитаем 1 с обеих сторон:

Делим обе стороны на 4:

Шаг 5: Итоговый ответ

Таким образом, решение неравенства $\log_{\frac{1}{7}}(4x + 1) > -2$ состоит в следующем промежутке значений для $x$: