Упростите выражение cos(7П/2-a)

Для упрощения выражения $\cos\left(\frac{7\pi}{2} - a\right)$ можно воспользоваться свойствами тригонометрических функций и их периодичностью.

1. Используем периодичность косинуса:
   Косинус имеет период $2\pi$, что означает, что $\cos(x) = \cos(x + 2n\pi)$, где $n$ — целое число. Это позволяет уменьшить угол в пределах одного полного оборота.

2. Приведение угла к более простому выражению:
   Рассмотрим $\frac{7\pi}{2}$. Мы можем вычесть $2\pi$ несколько раз, чтобы привести угол к интервалу от $0$ до $2\pi$.

   $$\frac{7\pi}{2} - 2\pi = \frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$$

   Теперь угол $\frac{7\pi}{2}$ эквивалентен $\frac{3\pi}{2}$ по модулю $2\pi$.

3. Подставляем в исходное выражение:
   Подставим $\frac{3\pi}{2}$ вместо $\frac{7\pi}{2}$ в исходное выражение:

   $$\cos\left(\frac{7\pi}{2} - a\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right)$$

4. Используем формулу для косинуса разности:
   Косинус разности углов выражается через формулу:

   $$\cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$$

   В нашем случае $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = a$, и подставляем их в формулу:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) \cos(a) + \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \sin(a)$$

5. Вычисляем значения косинуса и синуса для угла $\frac{3\pi}{2}$:
   Известно, что:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{и} \quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$$

6. Подставляем эти значения:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = 0 \cdot \cos(a) + (-1) \cdot \sin(a)$$

   Получаем:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = -\sin(a)$$

Таким образом, упрощённое выражение для $\cos\left(\frac{7\pi}{2} - a\right)$ равно $-\sin(a)$.