Вычислить интеграл: ₂∫³ (2x-3)dx.

Для того чтобы вычислить определённый интеграл $\int_2^3 (2x - 3) \, dx$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти неопределённый интеграл:

   Интеграл от выражения $(2x - 3)$ вычисляется по правилам интегрирования:

   • Интеграл от $2x$ равен $x^2$, так как $\int 2x \, dx = x^2$.

   • Интеграл от $-3$ равен $-3x$, так как $\int -3 \, dx = -3x$.

   Таким образом, неопределённый интеграл от $2x - 3$ будет:

   $$\int (2x - 3) \, dx = x^2 - 3x + C$$

   где $C$ — константа интегрирования.

2. Вычислить определённый интеграл:

   Теперь, для вычисления определённого интеграла от 2 до 3, подставим пределы в результат неопределённого интеграла. Используем формулу:

   $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

   где $F(x) = x^2 - 3x$ — первообразная функции $f(x) = 2x - 3$.

   Подставим пределы:

   $$\int_2^3 (2x - 3) \, dx = \left[ x^2 - 3x \right]_2^3$$

   Теперь вычислим значения первообразной в точках $x = 3$ и $x = 2$:

   • При $x = 3$:

     $$F(3) = 3^2 - 3 \times 3 = 9 - 9 = 0$$

   • При $x = 2$:

     $$F(2) = 2^2 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2$$

3. Вычитаем значения:

   $$\int_2^3 (2x - 3) \, dx = F(3) - F(2) = 0 - (-2) = 2$$

Таким образом, значение интеграла $\int_2^3 (2x - 3) \, dx$ равно 2.