Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=1, x=3, осью ОХ и графиком функции

Ответы на вопрос

Отвечает Самоволькина Алина.

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = 1$ , $x = 3$ , осью $OX$ и графиком функции $f(x) = 4x - 2x^2$ , необходимо найти определённый интеграл этой функции на интервале от $x = 1$ до $x = 3$ .

Алгоритм решения:

Функция: $f(x) = 4x - 2x^2$ .
Границы интегрирования: $x = 1$ и $x = 3$ .
Площадь под графиком на интервале от 1 до 3 определяется как интеграл функции от 1 до 3.

Необходимо вычислить интеграл:

S = \int_1^3 (4x - 2x^2) \, dx

Интегрирование:

Для функции $f(x) = 4x - 2x^2$ находим неопределённый интеграл по частям:

\int (4x - 2x^2) \, dx = \int 4x \, dx - \int 2x^2 \, dx

= 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 + C

Вычисление определённого интеграла:

Теперь вычислим интеграл на интервале от 1 до 3:

S = \left[ 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_1^3

Подставим пределы интегрирования:

Для $x = 3$ :

2(3^2) - \frac{2}{3}(3^3) = 2(9) - \frac{2}{3}(27) = 18 - 18 = 0

Для $x = 1$ :

2(1^2) - \frac{2}{3}(1^3) = 2(1) - \frac{2}{3}(1) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

Площадь:

Теперь находим разницу значений интеграла в верхнем и нижнем пределах:

S = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}

Так как площадь не может быть отрицательной, берём модуль этого значения:

S = \frac{4}{3}

Ответ: площадь криволинейной трапеции составляет $\frac{4}{3}$ квадратных единиц.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=1, x=3, осью ОХ и графиком функции f(x)=4x-2x².

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика