Решите уравнение \(5\sin^2x + 2\sin x \cos x - \cos^2x = 1\).

Решим уравнение $5\sin^2x + 2\sin x \cos x - \cos^2x = 1$.

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества

Для начала преобразуем уравнение с использованием известных тригонометрических тождеств. Мы знаем, что:

Это тождество может быть полезно для преобразования выражений, содержащих $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$.

Шаг 2: Введение новых переменных

Для упрощения введем две новые переменные:

Тогда уравнение примет вид:

Кроме того, из тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ имеем:

Шаг 3: Подставим $z^2$

Теперь из уравнения $y^2 + z^2 = 1$ выразим $z^2$ через $y^2$:

Подставим это выражение для $z^2$ в исходное уравнение:

Упростим это уравнение:

Соберем подобные члены:

Преобразуем уравнение:

Шаг 4: Разделим на 2

Разделим все члены на 2:

Шаг 5: Решим полученное уравнение

Теперь нам нужно решить уравнение:

Это уравнение можно решить относительно $z$, представив его в виде:

Тогда $z$ можно выразить как:

Шаг 6: Подставим в тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Так как $z = \cos x$, подставим выражение для $z$ в тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

Теперь нужно решить это уравнение относительно $y$, но оно является достаточно сложным для аналитического решения. Однако, путем подбора значений $y = \sin x$, можно найти решения для конкретных значений $x$.

Решения этого уравнения будут зависеть от того, какие значения $y = \sin x$ подходят для конкретных значений $x$, которые удовлетворяют этому уравнению.