Решите уравнение: 36*16^x - 91*12^x + 48*9^x = 0

Для решения уравнения $36 \cdot 16^x - 91 \cdot 12^x + 48 \cdot 9^x = 0$, начнём с преобразования всех выражений в более удобную форму.

Шаг 1: Перепишем степени с одинаковыми основаниями

Все числа 36, 16, 12 и 9 можно выразить через степень 2 и 3:

• $16 = 2^4$

• $12 = 2^2 \cdot 3$

• $9 = 3^2$

Тогда уравнение будет выглядеть так:

Шаг 2: Упростим выражения

Теперь упростим каждую из степеней:

1. $16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$

2. $12^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x$

3. $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

Шаг 3: Введём замену

Для удобства можно ввести следующие замены:

• $a = 2^x$

• $b = 3^x$

Тогда уравнение примет вид:

Шаг 4: Решим полученное уравнение

Это уравнение является многочленом относительно $a$ и $b$. Однако, для упрощения решения будем искать такие значения $x$, при которых выражения $a$ и $b$ могут быть целыми числами. Проверим несколько значений $x$.

Шаг 5: Подбор значений

Попробуем $x = 0$:

• $a = 2^0 = 1$

• $b = 3^0 = 1$

Подставим в уравнение:

Значит, $x = 0$ не является решением.

Теперь попробуем $x = 1$:

• $a = 2^1 = 2$

• $b = 3^1 = 3$

Подставим в уравнение:

Значит, $x = 1$ тоже не является решением.

Попробуем $x = 2$:

• $a = 2^2 = 4$

• $b = 3^2 = 9$

Подставим в уравнение: