Сколько корней имеет уравнение sin x • sin 7x = sin 3x • sin 5x, если x €[0;2]

Для решения уравнения $\sin x \cdot \sin 7x = \sin 3x \cdot \sin 5x$ на отрезке $x \in [0, 2\pi]$, начнем с использования тригонометрических тождеств и преобразования выражений.

1. Применим тождество для произведения синусов:

   $$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$$

   Используя это тождество для обеих сторон уравнения, получаем:

   Слева:

   $$\sin x \cdot \sin 7x = \frac{1}{2} [\cos(x - 7x) - \cos(x + 7x)] = \frac{1}{2} [\cos(-6x) - \cos(8x)]$$

   Упрощается до:

   $$\sin x \cdot \sin 7x = \frac{1}{2} [\cos 6x - \cos 8x]$$

   Справа:

   $$\sin 3x \cdot \sin 5x = \frac{1}{2} [\cos(3x - 5x) - \cos(3x + 5x)] = \frac{1}{2} [\cos(-2x) - \cos 8x]$$

   Упрощается до:

   $$\sin 3x \cdot \sin 5x = \frac{1}{2} [\cos 2x - \cos 8x]$$

2. Подставив эти выражения в исходное уравнение, получаем:

   $$\frac{1}{2} [\cos 6x - \cos 8x] = \frac{1}{2} [\cos 2x - \cos 8x]$$

   Умножаем обе стороны на 2:

   $$\cos 6x - \cos 8x = \cos 2x - \cos 8x$$

   Сокращаем $\cos 8x$ с обеих сторон:

   $$\cos 6x = \cos 2x$$

3. Уравнение $\cos 6x = \cos 2x$ имеет решение в виде:

   $$6x = 2x + 2k\pi \quad \text{или} \quad 6x = -2x + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

   Решим каждое из этих уравнений:

   • Для $6x = 2x + 2k\pi$ получаем:

     $$4x = 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{k\pi}{2}$$

   • Для $6x = -2x + 2k\pi$ получаем:

     $$8x = 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{k\pi}{4}$$

4. Теперь находим все возможные значения $x$ на отрезке $[0, 2\pi]$:

   • Для $x = \frac{k\pi}{2}$, $k = 0, 1, 2, 3, 4$ — это значения $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$.

   • Для $x = \frac{k\pi}{4}$, $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ — это значения $x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi$.

5. Объединяя все полученные значения, мы получаем уникальные корни:

   $$x=0,\frac{\pi }{4}$$