Решите неравенство 3x^2-4x+1>(или равно)0

Для решения неравенства $3x^2 - 4x + 1 \geq 0$, давайте сначала разберемся с его решением.

1. Приведем неравенство к виду квадратного уравнения:
   Мы имеем неравенство $3x^2 - 4x + 1 \geq 0$. Это неравенство имеет вид квадратного неравенства.

2. Найдем корни соответствующего уравнения:
   Для того чтобы решить неравенство, найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта.
   Формула для дискриминанта уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ следующая:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 3$, $b = -4$, и $c = 1$. Подставим эти значения в формулу:

   $$D = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4$$

   Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня.

3. Вычислим корни уравнения:
   Для нахождения корней используем формулу:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{4 \pm 2}{6}$$

   Это дает два корня:

   $$x_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

4. Анализируем знак выражения:
   Мы знаем, что график квадратичной функции $3x^2 - 4x + 1$ — это парабола, которая открывается вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).

   Корни уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$ — это точки, в которых парабола пересекает ось $x$. Эти корни $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{1}{3}$.

   Парабола будет выше оси $x$ (значение функции будет положительным) за пределами этих корней, то есть для $x \leq \frac{1}{3}$ и $x \geq 1$.

   Между корнями, на интервале $\left( \frac{1}{3}, 1 \right)$, функция будет ниже оси $x$, то есть отрицательной.

5. Решение неравенства:
   Неравенство $3x^2 - 4x + 1 \geq 0$ выполняется на интервалах, где функция $3x^2 - 4x + 1$ неотрицательна. Это происходит при $x \leq \frac{1}{3}$ и $x \geq 1$. Также корни $x = \frac{1}{3}$ и $x = 1$ являются точками, где функция равна нулю, и они включены в решение.

   Таким образом, решение неравенства:

   $$x \in (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [1, \infty)$$