Докажите, что при любом значении n, выражение (n+1)²-(n-1)² делится на 4

Для того чтобы доказать, что выражение $(n+1)^2 - (n-1)^2$ делится на 4 при любом значении $n$, давайте сначала упростим это выражение.

1. Раскроем скобки в каждом из квадратов:

   $$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$$ $$(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$$

2. Подставим эти выражения в исходное:

   $$(n+1)^2 - (n-1)^2 = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1)$$

3. Упростим выражение:

   $$n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1$$

   Здесь $n^2$ и $-n^2$ взаимно уничтожаются, а $1$ и $-1$ тоже исчезают. Оставляется:

   $$2n + 2n = 4n$$

Таким образом, выражение $(n+1)^2 - (n-1)^2$ упрощается до $4n$.

4. Мы видим, что $4n$ всегда делится на 4, независимо от того, какое значение имеет $n$, так как множитель 4 очевидно делится на 4.

Таким образом, выражение $(n+1)^2 - (n-1)^2$ всегда делится на 4 при любом значении $n$.