Решите уравнение \((x+2)^4 + 5(x+2)^2 - 36 = 0\).

Для решения уравнения $(x+2)^4 + 5(x+2)^2 - 36 = 0$ начнём с того, что введём новую переменную для упрощения. Пусть $y = (x+2)^2$. Таким образом, уравнение можно переписать как:

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью формулы дискриминанта.

1. Найдем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169.$$

2. Так как дискриминант $D = 169$ положительный, у нас два корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 13}{2}.$$

   Таким образом, получаем два значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4,$$ $$y_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9.$$

Теперь возвращаемся к переменной $x$, так как $y = (x+2)^2$. Рассмотрим оба случая:

1. $y = 4$:

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x+2$:

Решаем для $x$:

2. $y = -9$:

Это уравнение не имеет реальных решений, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Итак, реальные решения уравнения: $x = 0$ и $x = -4$.