Решить уравнение: 9sin x cos x - 7cos²x = 2sin²x

Для решения уравнения $9 \sin x \cos x - 7 \cos^2 x = 2 \sin^2 x$ начнём с преобразования тригонометрических функций и приведения уравнения к более простому виду.

1. Используем формулы для тригонометрических функций:

   Вспоминаем, что можно выразить произведение синуса и косинуса через синус удвоенного угла:

   $$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x.$$

   То есть, $9 \sin x \cos x = \frac{9}{2} \sin(2x)$. Подставим это в уравнение:

   $$\frac{9}{2} \sin(2x) - 7 \cos^2 x = 2 \sin^2 x.$$

2. Преобразуем косинус и синус в квадрате:

   Используем основное тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

   Таким образом, можно выразить $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$:

   $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x.$$

   Подставим это в уравнение:

   $$\frac{9}{2} \sin(2x) - 7(1 - \sin^2 x) = 2 \sin^2 x.$$

   Упростим это:

   $$\frac{9}{2} \sin(2x) - 7 + 7 \sin^2 x = 2 \sin^2 x.$$

3. Решаем для синуса:

   Переносим все члены, содержащие $\sin^2 x$, на одну сторону:

   $$\frac{9}{2} \sin(2x) + 7 \sin^2 x - 2 \sin^2 x = 7.$$

   Упростим:

   $$\frac{9}{2} \sin(2x) + 5 \sin^2 x = 7.$$

4. Оставляем результат:

   Теперь у нас есть уравнение с функциями $\sin(2x)$ и $\sin^2 x$. Для точного решения можно использовать численные методы, такие как графический метод или методы поиска корней уравнений с помощью калькуляторов.